問題解説〜図形問題〜
今回のレシピ
図形問題
〜連立方程式を使って〜
材料(必要な知識)
- 台形の面積公式
{(上底)+(下底)}×(高さ)÷2
- 一次関数の一般式
y=ax+b
（aは傾き、bは切片）
- 傾きの求め方
(傾き)=(yの変化量)÷(xの変化量)
- 連立方程式の解き方
作り方(解き方)
1.簡単にイメージ図を書く。
2.台形AOCBの面積を求める。
半分の面積も求める。
3.台形AOCBを二等分する直線
とAB,OCとの交点をP,Qと
置いて、傾きの式から
aとbの関係式①を求める。
4.台形AOQPの面積を求める式
からaとbの関係式②を
求める。
5.関係式①と②を連立させて
連立方程式を解く。
6.点Pの座標を使って
台形AOCBを二等分する
直線の式を求める。
ポイント・アドバイス
・手順1で書く図は
丁寧に書くと時間を使う
ので、ある程度でOKです。
・手順5の画像でaとb両方とも
求めていますが実際は
片方だけ求めればOKです。
その方が時間短縮できます。
参考文献
中学校数学学習サイト
問題解説〜三平方の定理〜
僕は数学の問題を
料理だと思って解いています。
ただ
｢数学の問題と料理が
イコールってどういう事｣って
思うかもしれませんが
問題が
かなり分かりやすくなるので
騙されたと思って
見ていってください。
今回のレシピ
三平方の定理の証明
材料(必要な知識)
- 三角形の面積公式
(底辺)×(高さ)÷2
- 四角形の面積公式
(縦)×(横)
- 正方形は全ての角が直角
作り方(解き方）
1.与えられている図に
分かっている長さを
全て書き込む。
2.四角形EFGHの面積を
求める。
3.四角形ABCDの面積を
求める。
4.4つの三角形
AHE,BEF,CFG,DGHの
面積を求め、全て足す。
5.手順3から手順4を引く。
6.手順2と手順5の結果を
「=」で結ぶ。
ポイント・アドバイス
•問題の図形は正方形と
直角三角形で、全ての辺の長さ
がわかっているから、面積から
求めるのがポイントです。
•手順4において4つの三角形は
全て合同なので1つ求めて
4倍すると早く求められます。
参考文献
中学校数学学習サイト
あなたは量と質どっち派ですか？
数学の問題を
とにかく沢山解いて
テストに挑んでいるのに
全然点が取れない。
こんな経験はありませんか？
テストでスラスラ解きたい！
高得点を取りたい！
考えることに
時間を費やしたくない、
赤点は取りたくない、
と思って沢山問題を解くのに
テストでは思った通りに
行かない。
｢自分には数学の力が
全くないのかもしれない｣と
思うかもしれません。
それは違います。
数学の力がないのでは無く
数学の勉強の仕方が
間違っているだけです。
数学は人を2種類に
分けます。
・量をこなして
できるようになる人
・質をあげて
できるようになる人
の2種類です。
数学はスポーツに
例えることができます。
スポーツも人を
2種類に分けますよね。
・感覚でできてしまう人
・理論を理解してできる人
数学で量をこなしてできる人はスポーツを感覚で
できてしまう人と同じです。
数学で質をあげてできる人は
スポーツを理論を理解して
できる人と同じです。
なので
今まで大量に問題を解いたのに出来なかったあなたは
質をあげる勉強法をすれば
できるようになります。
そこで
質をあげる勉強法を
お教えします。
質を上げる勉強法をする時に
1番大事なことは
考えることです。
まず
1問どんな問題でもいいので
解いてください。
この時正解不正解は
気にしないでください。
｢最後まで解き終わった｣
または｢手が付けられなかった｣
の状態になったら
解説を見ましょう。
解説で見るのは
使われている公式と
それを使うまでの流れです。
各内容に様々な公式が
ありますが
公式は条件を満たさないと
使うことができません。
なので
公式を使うまでの流れを
見ることで
必要な条件を考え
知ることができます。
加えて
なぜその公式が
使われているのか
他の解き方はできないのかを
考えながら解説を読むことで
かなり高い質を持った勉強を
することができます。
まとめると
・公式が使われている流れから
どんな条件が必要なのか
考える
・なぜその公式が
使われているのか考える
の2つです。
いきなり
この2つを意識しながらやるのは難しいと思うので
まずは
1つ目の方を意識しながら
勉強して
慣れてきたら2つ目も
意識しながら
やっていきましょう！
応用問題は解けますか？
突然ですが
あなたに2つ質問です。
数学の問題を解く時に
基礎問題は解けますか？
また
応用問題は解けますか？
恐らくこれを読んでいる
あなたは
｢基礎問題は解けるけど
応用問題は出来ない｡｣
もしくは
｢基礎問題も分からない。｣
と答えると思います。
応用問題を解けるように
なりたい！
入試で数学で他の人と
差をつけたい！
という状態を望んでいて
応用問題なんて手が出せない、
基礎問題すら解けない、
なんて状態は望んでない
ですよね。
使う公式が何か
分かっているのに使い方が
分からないから解けない。
でも
だからと言って
｢数学が出来ない｣や
｢才能がない」ということにはなりません。
解けなかったのは
勉強のやり方が間違っていた
だけなんです。
なので
正しい勉強法をお教えします。
応用問題が解けないなら
基礎問題のやり方から
見直してみましょう。
ただし
注意点が3つあります。
・公式の使い方
・使える条件
・使うまでの流れ
を確認しながら問題を
解いてみてください。
上の3つに注意しながら
問題を解いていけば
ほとんどの基礎問題は
解くことができます。
次は応用問題ですが
応用問題は
基礎問題でやっていた事の
盛り合わせです。
基礎問題では
1つの問題に1つの公式が
普通ですが
応用問題では
1つの問題に複数の公式を
使っているので
基礎問題を一度に
数問解いてるような感じです。
なので
基礎問題での3つの注意点が
しっかり出来れば
応用問題では
それを何度か繰り返すだけで
解くことができます。
最初は難しいですが
慣れるまで意識しながら
繰り返し問題を解いていけば
必ず出来るようになります。
なので
まずは3つの注意点
・公式の使い方
・使える条件
・使うまでの流れ
を意識しながら
基礎問題を解いていき
慣れてきたら応用問題にも
挑戦していきましょう。
出来る出来ないを知る
あなたは数学の
どんな問題ができて
どんな問題ができていないか
自分で把握できていますか？
テストでいい点取りたい！
受験で使えるくらいには解ける
ようになりたい！
また
悪い点は取りたくない、
数学で足を引っ張りたくない、
と思っていても
完全に自分の状況を
把握することは難しいと
思います。
考えてみてください。
自分の出来ない問題を
理解している子と
理解していない子の
どちらがより早く成績を
伸ばすことが出来る
でしょうか？
理解している子の方が
より早く成績を伸ばすことが
出来ると思いませんか？
自分の出来ない問題を
理解している子は
それを無くそうと頑張るため
その結果
出来ない問題が少なくなり
成績は伸びやすくなります。
ですが
理解していない子は
どこが出来ていないか
分からないため
出来ない問題が溜まってしまい
成績が伸びるのが
遅くなってしまいます。
なので
出来ないことを理解するため
の方法をお教えします。
それは
出来ないことリストを
作ることです。
｢そんな事で｣
と思うかもしれませんが
出来ないことリストは
シンプルなうえ
大きな効果を発揮します。
例えば
一日のうちに複数予定がある時
あなたは頭の中で整理し
覚えておくことが出来ますか？
多くの人はカレンダーなどに
書き並べて整理すると
思います。
理由は頭の中でするよりも
書いた方が整理しやすいから。
出来ないことリストを
作る理由もこれと同じです。
出来ない問題をリストとして
まとめることで自分の状況を
整理して
何をやらなくてはいけないかを
分かりやすくすることが
大事なのです。
これからやり方を
説明していきます。
まず
必要なのは学校の問題集です。
学校の問題集は
内容別になっていて
同じページに類題が
複数あるためリストを
作りやすくなっています。
その類題が載っているページの
問題3割以上不正解でリストに
加えてください。
（3問あったら１問不正解）
ただし注意点があります。
間違えた理由が計算ミスの場合
は加えなくていいです。
加えるのは
解き方が間違っている
という理由で不正解だった
ものだけにしてください。
これを他の問題でも繰り返して
リストを作っていきます。
ただし
出来ないことリストを作って
終わりでは意味が無いので
まずは出来ないことリストを
作って
その後、出来るようになるまで
頑張って問題を
解いていきましょう！
問題へのアプローチ
数学の問題やテストを
受けていて
「この問題全く手をつけられな
かったな」
という経験はありませんか？
完答までは出来なくても
部分点が欲しい！
最後まで解ききりたい！
と思っていても
時間が足りない、
そもそもどう解くのか
分からない
などの理由で
最後まで出来ない。
このような悩みを
抱えていませんか？
｢時間が足りない｣というのは
様々な方法で解決できます。
例えば
途中式を省いたり
暗算の能力を上げたりと。
ですが
｢解き方が分からない｣を
解決するのは簡単には
できません。
なので
ここでは
「解き方が分からない」を
解決する方法をお教えします。
僕のブログでは
何度か出てきていますが
問題をパターン化することが
今回教える方法の肝に
なります。
ここに
図形の平面の問題が
あるとします。
その問題を解くために
何が使えるのか考えますよね。
錯角や同位角、合同など
色々あります。
ただ図形を見ても
何を使っていいのか
どうすればいいのか
分からない
こういった状況が
ほとんどだと思います。
ですが
問題をパターン化しておくと
過去に解いた、経験した問題
から解くためのヒントを
得ることができます。
つまり
問題をパターン化することで
一見初見に見える問題も
同じように解くことができる
ようになるということです。
初見の問題を解くことは
誰であっても難しいことです。
でも
パターン化しておけば
似たものから手がかりを
得ることができます。
なので
多くの問題を解き
経験を積んであなたの中に
あなた専用のパターン集を
作っていきましょう。
これから問題を解く時は
どんな方法で解けるのか
何を使うのかを意識しながら
問題を解いてみてください。
時間の短縮法
数学の試験受けてて
時間が足りないなと
思ったことありませんか？
頑張って最後まで解きたい！
早く解いて見直しの時間が欲しい！
と思ってはいるけど、
最後の問題は難しくて
時間がかかる、
早く解くとミスが
多くなってしまう、
などの問題が出てきてしまい
なかなか上手くいかない。
僕もそうでした。
最初の頃は最後の問題まで
行くことが出来ず
途中の問題まで。
最後まで行けたかと思うと
そこで時間切れ。
そんな状態でした。
でも
ある事を意識し始めたら
最後の問題まで
手をつけることができ
見直しの時間も得ることが
できるようになりました。
ここではその方法を
お教えします。
僕の教える内容は
・時間を少し短縮する方法
・時間を大きく短縮する方法
の2つです。
まず1つ目の方法ですが
ポイントは
「余計なものを省く」です。
この方法は特に記述問題に
置いて大きな効果を
発揮します。
少し考えてみてください。
記述問題で
全く同じ解き方をした時
途中の計算式をある程度
無くしたものと
全て書いたもの
どちらが早く書き終わる
でしょうか？
前者の方が早く終わると
思いませんか？
その通りなんです。
途中の計算式をある程度
減らすことで時間の短縮に
繋がります。
ですが注意点として
減らしすぎは減点対象に
なります。
｢程よく途中式を減らす｣が
1つ目です。
2つ目は
｢解き方を頭に浮かべる｣です。
練習の時から問題文を読んで
解き方が浮かぶように
意識しながら解くことで
テストで問題文を読んでからの「考える時間」を減らします。
この方法は数学の全ての問題で使えるので大幅に時間を
短縮します。
ただし
この方法は慣れなければ
出来ないので色んな問題に触れ経験を積むことが必要です。
どちらも慣れることが
大事なのでこれから問題を
解く時には
・省略できる式や計算はないか
・問題文をみて解き方が浮かぶ
ことに気をつけながら
勉強していきましょう。
